Trabalhei muito com Magento (semelhante ao Prestashop), também um e-commerce em PHP com banco de dados MySQL.
Normalmente problemas de lentidão são causados por banco de dados com informação temporárias, Magento usa um sistema de cache no qual é necessário limpar de tempos em tempos, ou/e servidor compartilhado.
Podemos colocar seu site em outro servidor e limpar o banco de dados, em uma URL de teste e verificar o resultado, o que acha?
As vezes conseguimos uma solução mais simples, rápida e barata do que migrar tudo.
Uma coisa é certeza, só de colocar um sistema de cache de HTML já irá melhorar muito a navegação.